BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2002

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On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.

On pose $S = x + y$ et $P =xy$.


 
    
         Démontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.

         En déduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux.
    
         Démontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair).

    

 Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.

 Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.

 Déterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant les conditions suivantes :

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
a + b &=& 84\\
ab& =& d^3 \\
\end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a ; b)\]

(On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux)