BAC S SPECIALITE Antilles--Guyane septembre 2002

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Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que

\[\text{AC = BD}\qquad  \text{et}\qquad  \widehat{\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right)} = - \dfrac{\pi}{2}.\]

 On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle ($\mathcal{C}_{1}$), ($\mathcal{C}_{2}$), ($\mathcal{C}_{3}$) et ($\mathcal{C}_{4}$) les cercles de diamètres respectifs
[AB], [BC] , [CD] et [DA].

 On pourra s'aider de la figure ci-jointe.


 
    
         Soit $r$ la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l'angle de $r$ ? Montrer que le centre I de $r$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$).

         Soit $r'$ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l'angle de $r'$ ? Montrer que le centre J de $r'$ appartient aux cercles ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$).

         Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement, ($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$) et par Q et S les points diamètralement opposés à J sur, respectivement, ($\mathcal{C}_{2}$) et ($\mathcal{C}_{4}$).

    

 Soit $s$ la similitude directe de centre I, de rapport $\sqrt{2}$
 et d'angle    $\dfrac{\pi}{4}$.
 
    
         Quelles sont les images par $s$ des points D, N, B ?

         En déduire que J est le milieu de [PR].

    



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\begin{center} \psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(8,8)
\pspolygon[linestyle=dotted](2.6,6.3)(6.3,5.8)(4.2,0.7)(0.7,4.2)
\psline(2.6,6.3)(4.2,0.7)
\psline(6.3,5.8)(0.7,4.2)
\pscircle(4.45,6.05){1.9}
\pscircle(5.25,3.25){2.75}
\pscircle(2.45,2.45){2.45}
\pscircle(1.65,5.25){1.4}
\uput[ur](2.6,6.3){A} \uput[r](6.3,5.8){B}
\uput[d](4.2,0.7){C} \uput[l](0.7,4.2){D}
\uput[r](3.4,3.5){M} \qdisk(3.4,3.5){1pt}
\uput[u](3.5,5){N} \qdisk(3.5,5){1pt}
\uput[u](4.18,4.18){I} \qdisk(4.18,4.18){1pt}
\uput[l](2.82,4.5){J} \qdisk(2.82,4.5){1pt}
\uput[u](4.7,7.92){P}  \qdisk(4.7,7.92){1pt}
\uput[r](7.8,2.2){Q} \qdisk(7.8,2.2){1pt}
\uput[dl](0.72,0.72){R} \qdisk(0.72,0.72){1pt}
\uput[ul](0.57,6.1){S} \qdisk(0.57,6.1){1pt}
\uput[l](0,2.3){($\mathcal{C}_{3}$)}
\uput[u](1.2,6.5){($\mathcal{C}_{4}$)}
\uput[u](6,7.5){($\mathcal{C}_{1}$)}
\uput[r](8,4.3){($\mathcal{C}_{2}$)}
\end{pspicture}\end{center}