BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2002

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 \vspace{0,5cm}
 
\begin{center}\psset{unit=0.87cm}
\begin{pspicture}(15,4.5)
\psframe(0,0)(2.2,4.5) \psframe(2.2,0)(6.7,2.2)
\psframe(6.7,0)(9.05,4.5)  \psframe(9.05,0)(13.6,2.2)
\uput[ul](0,4.5){C} \uput[ur](2.2,4.5){B} \uput[d](0,0){D}
\uput[d](2.2,0){A} \uput[d](2.9,0){E$_1$} \uput[d](5.9,0){E$_2$}
\uput[u](8.9,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](9.85,0){E$_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,4cm}

On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10~cm et AD = 5~cm.


  Faire une figure : construire ABCD, puis les images
 respectives M, N et P de B, C et D par la rotation $r$  de centre A et
 d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.


    
          Construire le centre $\Omega$ de la rotation $r'$ qui vérifie $r'$(A) = N et $r'$(B) = P. Déterminer l'angle de $r'$.

         Montrer que l'image de ABCD par $r'$ est AMNP.

         Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r^{- 1} \circ r'$.

    

 On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{DM}}$.  Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points $\left(A_k\right)_{k \geqslant 1}$ vérifiant, en cm,~ D$A_k = 5 + 15k$.  Sur la même demi-droite, on considère la suite de points $\left(E_n\right)_{n \geqslant 1}$ vérifiant, en cm, D$E_n = 6,55 n$.

    
          Déterminer l'entier $k$ tel que $E_{120}$ appartienne à $[A_k,
A_{k+1}]$. Que vaut la longueur $A_kE_{120}$ en cm ?

         On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale $n_0$ le
point $E_{n_0}$ est confondu avec un point $A_k$.

Montrer que si un point $E_n$ est confondu avec un point $A_k$ alors $131 n - 300k = 100$.

Vérifier que les nombres $n = \np{7100}$ et $k = \np{3100}$ forment une  solution de cette équation.

Déterminer la valeur minimale $n_0$ recherchée.