BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2002

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Soit (E) l'ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme $\overline{abba}$ où $a$ est un chiffre supérieur ou égal à 2 et $b$ est un chiffre quelconque.

Exemples d'éléments de (E) : \np{2002} ; \np{3773} ; \np{9119}.

Les parties A et B peuvent être traitées séparément.

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{Partie A : Nombre d'éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.}


 
    
         Décomposer \np{1001} en produit de facteurs
premiers.

         Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.

    

 
    
         Quel est le nombre d'éléments de (E) ?

         Quel est le nombre d'éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2  ni par 5 ?

    

 Soit $n$ un élément de (E) s'écrivant sous la forme $\overline{abba}$.

    
         Montrer que : \og $n$ est divisible par 3 \fg{} équivaut à \og $a +  b$ est divisible par 3 \fg{}.

         Montrer que : \og $n$ est divisible par 7 \fg{} équivaut à \og $b$ est divisible par 7 \fg{}.

    

 Déduire des questions précédentes le nombre d'éléments
de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier.

 

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{Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.}



Soit (F) l'ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année
bissextile.

On admet que pour tout élément $n$ de (F), il existe des entiers
naturels $p$ et $q$ tels que :

\[n = \np{2000} + 4 p \quad \text{et} \quad n = \np{2002} + 11q.\]


 On considère l'équation (e) : $4 p - 11 q = 2$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

 Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l'équation (e) puis résoudre l'équation (e).

 En déduire que tout entier $n$ de (F) peut s'écrire sous la forme \np{2024} + 44 $k$ où $k$ est un entier relatif.

 À l'aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).

 N.B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :

 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.