BAC S SPECIALITE Antilles--Guyane juin 2002

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Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vect{\text{OI}},~ \overrightarrow{\text{OJ}}\right)$ (unité graphique 4~cm)


 On considère les points A, B , C , D et E d'affixes respectives :

\[Z_{\text{A = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6 ,~ Z_{\text{B =
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}},~ Z_{\text{C = - 1,~ Z_{\text{D = -
\text{i}~ \text{et}~ Z_{\text{E = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\]

    
         Faire la figure

         Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC]

         Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{OI}}$. Placer les points K et L
sur la figure.

    

 On considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $Z$
associe le point $M'$ d'affixe $Z' = \left(\dfrac{1}{2} -
\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z}$ où $\overline{Z}$ désigne le
conjugué de $Z$.

    
         Justifier l'égalité $F = R ~\circ~ S$ où $S$ est la réflexion ou symétrie axiale d'axe (OI) et $R$ une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

         Montrer que $F$ est une réflexion dont on précisera l'axe.

    

 Soit $G$ l'application qui, à tout point $M$
d'affixe $Z$ associe le point $M''$ dont l'affixe $Z''$ définie par la formule
$Z'' = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{Z} + 1$.

Déterminer une application $T$ telle que $G = T ~\circ~ F$. En déduire que $G$ est un antidéplacement.