BAC S SPECIALITE Asie juin 2002

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On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x_{n+ 1} & = &  \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\
y_{n + 1} &  =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right., ~n \in \N \]
 

 Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de
 coordonnées $\left(x_n,~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une
 équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que $x_{n+ 1} = 4x_n + 2.$

 Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des
 entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels.

 Montrer que :

    
         $x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par 3.

         Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.
 
    

 
    
         Montrer, par récurrence, que $x_n = \dfrac{1}{3}
\left(4^n \times  5 - 2\right).$

         En déduire que $4^n \times  5 - 2$ est un multiple de 3, pour tout
 entier naturel $n$.