BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2002

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Soit $p$ un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation :

\[\textbf{E}~: x^2  + y^2= p ^2\]


 On pose $p = 2$. Montrer que l'équation  {E} est sans solution.

 On suppose désormais $p \geqslant  2$ et que le couple $(x~;~ y)$ est solution de l'équation {E}.

 Le but de cette question est de prouver que $x$ et $y$ sont  premiers entre eux.

    
         Montrer que $x$ et $y$ sont de parités différentes.

         Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$.

         En déduire que $x$ et $y$ sont premiers entre eux.

    

 On suppose maintenant que $p$ est une somme de deux carrés non nuls, c'est-à-dire : $p = u^2 + v^2$ où $u$  et $v$ sont deux entiers naturels strictement positifs.  

    
         Vérifier qu'alors le  couple $\left(\left|u^2 - v^2\right|~;~2uv\right)$ est solution de l'équation {E}.

         Donner une solution de l'équation {E}, lorsque $p = 5$ puis lorsque $p = 13$.
 
    

    On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation {E} est impossible lorsque $p$ n'est pas somme de  deux  carrés.

    
         $p = 3$ et $p = 7$ sont-ils somme de deux carrés ?

         Démontrer que les équations $x^2  +y^2 = 9$ et $x^2 + y^2 = 49$ n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.