BAC S SPECIALITE Métropole juin 2002

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 On considère l'équation
\[(\text{E})~:~6x + 7y = 57\]
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.


 Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,~v)$ tel que $6u + 7v = 1$ ; en déduire une solution particulière $(x_{0},~y_{0})$ de l'équation (E).

 Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

 

 Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace.

On considère le plan (P) d'équation : $6x + 7y + 8z = 57$.

On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan
\Oij. Montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point.

 On considère un point $M$ du plan P dont les
coordonnées $x,~y$ et $z$ sont des entiers naturels.

    
         Montrer que l'entier $y$ est impair.

         On pose $y = 2p + 1$ où $p$ est un entier naturel.

Montrer que le reste dans la division euclidienne de $p + z$ par 3 est égal à 1.

         On pose $p + z = 3q + 1$ où $q$ est un entier naturel. Montrer que les entiers naturels $x,~p$ et $q$ vérifient la relation : $x + p + 4q = 7$. En déduire que $q$ prend les valeurs 0 ou 1.

     En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels.