BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2002

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$~
(unité graphique : 2~cm).

On fera une figure que l'on complétera avec les différents
 éléments intervenant dans l'exercice.}


    Dans cette question on considère l'application $s$
 du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le
 point $M'$ d'affixe $z'=  - \text{i}\overline{z}$.

    
         Montrer que $s$ est une réflexion d'axe noté D et de vecteur directeur $\overrightarrow{w}$ d'affixe $1 - \text{i}$.

         Soit D$'$ la droite d'équation $y = - 1$, on appelle $s'$ la réflexion d'axe D$'$.

Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{w},~ \overrightarrow{u}\right)$.

Déterminer géométriquement la composée $r =  s' ~\circ ~ s$.

         Déterminer l'écriture complexe de $r$.

    

 Dans cette question un considére l'application $p$ du plan
 dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe $z_1 = \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2}\text{i}\overline{z} = \dfrac{z +
z'}{2}$.

    
         Soit le point A d'affixe $z = 2 + $~i,~ déterminer l'affixe du point
 A$_1$ image de A par $p$.

         Montrer que tout point $M$ a son image $M_1$ située sur la droite
 d'équation $y = - x$ .

         Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes,
l'application $p$.

    

 On considère l'application $f$ définie par $f =
s'~\circ ~p$.

Construire l'image A$'$ du point A par $f$.

Montrer  que $s~\circ~ p = p$ et en déduire que $f= r~\circ~p$. Montrer que, tout point $M$ du plan a son image par $f$ sur une droite $\Delta$, que  l'on déterminera.