BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2002

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$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.


 Montrer que $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux.

 On pose $\alpha = n + 3$ et $\beta = 2n + 1$ et on note $\delta$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.

    
         Calculer $2\alpha - \beta$ et en déduire les valeurs possibles de $\delta$.

         Démontrer que $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement si $(n - 2)$ est multiple de 5.

    

 On considère les nombres $a$ et $b$ définis
par :

\[ \begin{array}{l c l}
a & = & n^3 + 2n^2 - 3n\\
b & = & 2n^2 - n - 1\\
\end{array}\]

 Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des
entiers naturels divisibles par $(n - 1)$.

 
    
          On note $d$ le PGCD de $n(n + 3)$ et de
$(2n + 1)$. Montrer que $\delta$ divise $d$, puis que $\delta = d$.

         En déduire le PGCD, $\Delta$, de $a$ et $b$ en fonction
de $n$.

         Application :

Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2001}$ ;

Déterminer $\Delta$ pour $n = \np{2002}$.