BAC S SPECIALITE Pondichéry juin 2002

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Pondichery_juin2002_retour}{Retour au tableau}
 
\vspace{0,5cm}


 Calculer le P.G.C.D. de $4^5 - 1$ et de $4^6 - 1$.
\vspace{0,3cm}

Soit $u$ la suite numérique définie par :

$u_{0} = 0,~ u_{1} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+2} = 5 u_{n+1} - 4 u_{n}.\]

 Calculer les termes $u_{2},~ u_{3}$ et
$u_{4}$ de la suite $u$.

 
    
         Montrer que la suite $u$ vérifie,
pour tout entier naturel $n$,
~$u_{n+1} = 4 u_{n} + 1$.

         Montrer que, pour tout entier naturel $n$,~ $u_{n}$ est un entier naturel.

         En déduire, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de $u_{n}$ et $u_{n+1}$.

    

 Soit $v$ la suite définie pour tout entier
naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} + \dfrac{1}{3}.$

    
         Montrer que $v$ est une suite géométrique dont on déterminera
la raison et le premier terme $v_{0}$.

         Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.

         Déterminer, pour tout entier naturel $n$, le P.G.C.D. de  $4^{n + 1} - 1$ et de $4^n- 1$.