BAC S SPECIALITE Calédonie décembre 2001

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\begin{center} {Partie I} \end{center}

Soit $x$ un nombre réel.


 Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$.

 En déduire que $x^4  + 4$  peut s'écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels.



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\begin{center} {Partie II} \end{center}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ leur PGCD.


  Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier.

 Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2.

 Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, divise $4n$.

 Dans cette question on suppose que $n$ est impair.

    
         Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est impair.

         Montrer que $d$ divise $n$.

         En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont premiers entre eux.

    

 On suppose maintenant que $n$ est pair.

    
         Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$.

         Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair.

         Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On pourra s'inspirer de la démonstration utilisée à la question {4.})