BAC S SPECIALITE Amérique du Sud décembre 2001

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Soit $n$ un entier naturel non nul.

On considère les nombres $a$ et $b$ tels que :

\[a = 2 n^3 + 5n^2 + 4n + 1 \qquad \text{et} \qquad b = 2 n^2 + n.\]


 Montrer que $2n + 1$ divise $a$ et $b$.

 Un élève affirme que le PGCD de $a$ et $b$ est $2n + 1$.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse? (\emph{La réponse sera justifiée.})