BAC S SPECIALITE Antilles--Guyane septembre 2001

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 Soient $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls tels que PGCD$(a + b ~;~ ab) = p$, où $p$ est un nombre premier.

    
         Démontrer que $p$ divise $a^2$. (On remarquera que $a^2 = a(a + b) - ab.)$

         En déduire que $p$ divise $a$.

On constate donc, de même, que $p$ divise $b$.

         Démontrer que PGCD$(a ~; ~b) = p$.

    

 On désigne par $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a \leqslant b$.

    
         Résoudre le système

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
\text{PGCD}(a,~b)& =& 5 \\
\text{PPCM}(a,~b)& =& 170\\
\end{array} \right.\]

     En déduire les solutions du système :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
\text{PGCD}(a + b,~ab)& =& 5\\
\text{PPCM}(a,~b) &=& 170\\
\end{array} \right.\]