BAC S SPECIALITE Polynésie septembre 2001

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Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$, unité graphique 1 cm, on considère les points B, D définis par :
$\overrightarrow{\text{AB = 2\overrightarrow{u},\vect{\text{AD =3\overrightarrow{v}$ et C tel que ABCD soit un rectangle.

 \textsl{On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.}


 Soit E l'image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{DB}}$. Déterminer l'affixe $z_{\text{E}}$ de E.

 Déterminer les nombres réels $a,~ b$ tels que le point F d'affixe $z_{\text{F = 6 - \text{i}$ soit le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients $a,~ b$ et 1.

 On considère la similitude $s$ qui transforme A en E et B en F. À tout point $M$
 d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, image de $M$ par $s$.
 
    
         Exprimer $z'$ en fonction de $z$.

         Déterminer le centre I, l'angle et le rapport de la similitude s.

         Déterminer les images de C et de D par $s$.

         Calculer l'aire de l'image par $s$ du rectangle ABCD.

    

 
    
         Déterminer l'ensemble $\Omega$ des points $M$ du plan
tels que :

\[\left\|6\overrightarrow{M\text{A - 10\overrightarrow{M\text{B +\vect{M\text{C}}\right\| = 9.\]

         Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l'image de $\Omega$ par $s$.