BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2001

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Un astronome a observé au jour J$_0$ le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J$_0$ + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J$_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de
 l'astronome.
 Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour  J$_1$ .

  Soient $u$ et $v$ le nombre de périodes effectuées respectivement par  A et B entre J$_0$ et J$_1$. Montrer que le couple $(u~;~v)$ est solution de l'équation (E$_1)~: \quad 35x - 27y = 2$.
 
    
          Déterminer un couple d'entiers relatifs $(x_0~;~ y_0)$ solution  particulière de l'équation (E$_2$) :
\[35x - 27y = 1.\]
         En déduire une solution particulière $(u_0~;~v_0)$ de (E$_1$).
         Déterminer toutes les solutions de l'équation (E$_1$).
         Déterminer la solution $(u~;~v)$ permettant de déterminer  J$_1$.
    
 
    
          Combien de jours s'écouleront entre J$_0$ et J$_1$ ?
         Le jour J$_0$ était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J$_1$ ? (L'année 2000 était bissextile.)
         Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devrat-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux astres ?