BAC S SPECIALITE Métropole juin 2001

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$~[unité graphique : 6~cm].

On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points ($M_n$) de la manière suivante :  

M$_0$ a pour afflxe $z_{0} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ et, pour tout entier naturel $n,~M_{n+1} = f(M_{n})$.

On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_n$.


 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

Placer les points M$_{0}$,~M$_{1}$,~ M$_{2}$.
 Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité

\[z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}\]
 
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
 Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ soit supérieur ou égal à $p$. Montrer que deux points $M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et seulement si, $(n - p)$ est multiple de 12.
 
    
         On considère l'équation (E) : $12x - 5y = 3$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation (E).
         En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$).