BAC S SPECIALITE Liban juin 2001

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On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 3 ~cm.

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{Partie A}


 
Soit trois droites D$_{1}$,~ D$_{2}$ et D$_{3}$, sécantes en $\Omega$ et de
vecteurs directeurs respectifs $\overrightarrow{d_{1 = \overrightarrow{u}$,
et $\overrightarrow{d_{2}}$ et $\overrightarrow{d_{3}}$ supposés unitaires et
tels que $\left(\vect{d_{1}},~ \overrightarrow{d_{2 \right) =
\dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{d_{1}},~\vect{d_{3 \right)
= -~ \dfrac{2\pi}{3}$.

On note S$_{1}$, S$_{2}$ et S$_{3}$ les réflexions d'axes respectifs D$_{1}$, D$_{2}$ et D$_{3}$,
et $f$ la composée S$_{3} \circ$ S$_{2} \circ S_{1}$, de ces trois réflexions.


 Tracer ces trois droites.
 
    
         Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $r = \text{S}_{2} \circ \text{S}_{1}$.
         Caractériser la réflexion S telle que $r = \text{S}_{3}\: \circ$ S . On notera D l'axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur $\overrightarrow{d}$. Tracer la droite D.
         En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.
    
 Justifier que le point E d'affixe $z_{\text{E = \text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{12}}$ est un point de la droite D.

Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que la forme complexe de $f$ soit l'application $f_{1}$ définie sur $\C$ par $f_{1}(z) = a\overline{z} + b$.
 

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{Partie B}


 

 Choisir un point A sur D. On note B l'image de A par S$_{1}$ et C l'image de B par S$_{2}$ . Placer les points B et C .
 Démontrer que A est l'image de C par S$_{3}$.
 Que peut-on dire du point $\Omega$ pour le triangle ABC ?