BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2001

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 On considère $x$ et $y$ des entiers relatifs et l'équation (E)\quad $ 91x + 10y = 1$.
    
         Énoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
         Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E')\quad : $91x + 10y = 412$.
         Résoudre (E').
    
 Montrer que les nombres entiers $A_n = 3^{2n} - 1$, où $n$ est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
 On considère l'équation (E$''$) $A_3x + A_2y = \np{3296}$.
    
         Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x,~ y)$ solutions de l'équation (E$''$).
         Montrer que (E$''$) admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.