BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2000

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} (unité graphique : 2cm). On désigne par $m$ un nombre réel. On considère la transformation
T$_{m}$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$
d'affixe $z'$ définie par :

\[z'= (m + \text{i})z + m - 1 - \text{i}\]
 
 {Partie A}
 

 Peut-on choisir $m$ de telle sorte que T$_{m}$ soit
une translation ?
 Déterminer le réel $m$ de telle sorte que
T$_{m}$ soit une rotation. Préciser alors le centre et l'angle de cette rotation.
 

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{Partie B}
 
Dans la suite de l'exercice on pose $m = 1$.


 
    
         Calculer l'affixe du point $\Omega$ invariant
par T$_{m}$.
         Pour tout nombre complexe $z$ différent de 1, calculer $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$.
En interprétant géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z' - 1}{z - 1}$, démontrer que T$_{1}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
         Démontrer que, pour tout nombre $z$ on a : $z'- z =
\textrm{i} (z - 1)$. En déduire que si $M$ est distinct de $\Omega$ , alors
le triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle en $M$.
    
 On définit dans le plan une suite $(M_{n})$ de points en posant :
$M_{0} = \text{O},~ M_{1} = \text{T}_{1}(M_{0}),~ \text{ et pour tout entier naturel}~ n~  \text{non nul}$:
$M_{n} = \text{T}_{1}(M_{n-1}).$
    
         Placer les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et
$M_{4}$ dans le plan muni du repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
         Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_{n} =
\Omega M_{n}$. Démontrer que la suite $(d_{n})$ est une suite géométrique.

Converge-t-elle ?