BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2000

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Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 4~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$  telles que :

\[a = 1, \quad b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad c =
\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}, \quad d =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\]


 
    
         Donner la forme exponentielle de $c$ et la forme algébrique de $d$.
         Représenter les points A, B, C et D.
         Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.
    
 Montrer que les points D, A et C sont alignés.
 Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude
directe $s$ de centre O qui transforme A en C.
 On note F et G les images par la similitude directe $s$ des points D
et C respectivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés.
 Déterminer l'affixe $f$ du point F.
 On considère la transformation $\varphi$ qui à tout point $M$,
d'affixe $Z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ telle que :
\[Z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3 \overline{Z} + \dfrac{3}{2} + \text{i}
\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]
Pour toute droite $\delta$ du plan, on notera $\sigma_{\delta}$ la symétrie
orthogonale d'axe $\delta$.
    
         Soit $r$ la transformation qui à tout point $M_1$ d'affixe $Z_1$,
associe le point $M'_1$ d'affixe $Z'_1$, telle que :
\[Z'_1 = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3Z_1 + \dfrac{3}{2} + \text{i}
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]
Déterminer la nature de $r$ et donner ses éléments caractéristiques.
         En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de
l'angle $\left(\vect{\text{AO}}, ~\vect{\text{AB}}\right)$,
puis déterminer la droite $\Delta$ telle que :
\[r = \sigma_{\Delta} \circ \sigma_{(\text{AO})}.\]
         Montrer que $\varphi = r \circ \sigma_{(\text{AO})}$. En déduire la nature de $\varphi$.