BAC S SPECIALITE Polynésie septembre 2000

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_sept2000_retour}{Retour au tableau}

\vspace{0,5cm}

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

 Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes. Pour cela on note I le point d'intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit :
\begin{itemize}
[$\bullet~$] l'homothétie $h_1$ de centre I qui transforme G en E.
[$\bullet~$]  l'homothétie $h_2$ de centre I qui transforme F en H.
\end{itemize}

\parbox[c]{0.5\textwidth}{
 Déterminer l'image de la droite (CG) par l'homothétie $h_1$ puis par la composée $h_2 \circ h_1$.
 Déterminer l'image de la droite (CG) par la composée $h_1 \circ h_2$.
 Justifier l'égalité :
\[h_2 \circ h_1 = h_1 \circ h_2.\]
En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I.
} \hfill
\parbox[r]{0.4\textwidth}{
\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(4.5,4)
\psline(0.5,2.4)(0.5,3.55)(2.9,3.55)
\psframe(2.9,2.4)(4.05,3.55)
\psframe(0.5,0)(2.9,2.4)
\uput[225](0.5,0){G} \uput[180](0.5,2.4){D} \uput[135](0.5,3.55){C}
\uput[315](2.9,0){H} \uput[315](2.9,2.4){A} \uput[90](2.9,3.55){B}
\uput[45](4.05,2.4){E} \uput[0](4.05,3.55){F}
\end{pspicture

 On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hauteur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH].
    
         Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{AO}}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{AH}}$.
         Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AD}}$.
         Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AO . \overrightarrow{\text{BD}}$ et conclure.
    
 Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A.
On pose AB = 1 et AD = $k \quad (k > 0)$.
    
         Déterminer l'angle et le rapport de la similitude S.
         Déterminer l'image de la droite (BD), puis l'image de la droite (AO), par cette similitude S.
         En déduire que le point d'intersection $\Omega$ des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S.