BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2000

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Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc $(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.
On note $R_{\text{A}}$ et $R_{\text{B}}$ les rotations de centres respectifs A et B et de même angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $S_{\text{O}}$ la symétrie de centre O.

On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés B$ED$C et AC$FG$ directs. On a donc $(\vect{\textrm{B}E},~ \overrightarrow{\text{BC}}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$ et $(\vect{\text{AC}},~ \overrightarrow{\text{A}G}) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.


 
    
         Déterminer S$_{(\text{AO})}
\circ S_{(\text{AB})}$ composée des réflexions d'axes (AB) et (AO).
         En écrivant $R_{\text{B}}$ sous la forme d'une composée de deux réflexions,
démontrer que $R_{\text{A \circ R_{\text{B = S_{\text{O}}$.
    
 
    
         Déterminer l'image de $E$ par $R_{\text{A \circ R_{\text{B}}$.
         En déduire que O est le milieu du segment [E$G$].
         On note $R_{F}$ et $R_{D}$ les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.
Étudier l'image de C par la transformation $R_{F} \circ S_{\text{O \circ R_{D}$.
Déterminer la transformation R$_{\text{F \circ S_{\text{O
\circ R_{D}$.
         Placer $H$ le symétrique de $D$ par rapport à O.
Démontrer que $R_{F}(H) = D$. Démontrer que le triangle
$F$O$D$ est rectangle et isocèle en O.