BAC S SPECIALITE Antilles--Guyane juin 2000

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\vspace{0,5cm}

Les points $A_0 = \text{O}~ ;~ A_1~ ;~\ldots ~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.

Les points $B_0 = \text{O}~ ;~ B_1~ ;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.

Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$
et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$.

On définit la suite $(M_n)$ de points par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
  $M_0$ est l'un des points $A_0,~ A_1,~ A_{2},~\ldots,~ A_{20}$ ;
  pour tout entier naturel $n,~ M_{n + 1} = r_{\text{A}}(M_n).$
On définit la suite $(P_n)$ de points par :
  $P_0$ est l'un des points $B_0,~ B_1,~B_{2},~\ldots,~B_{14}$
  pour tout entier naturel $n,~ P_{n + 1} = r_{\text{B}}(P_n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant :

\[M_n = P_n = \text{O} .\]


 Dans cette question, $M_0 = P_0 =$ O.
    
         Indiquer la position du point $M_{\np{2000}}$ et celle du point $P_{\np{2000}}$.
         Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $M_n = P_n =$ O.
        
En déduire l'ensemble $S$.
    
 Dans cette question, $M_0 = A_{19}$ et $P_0 = B_{10}$.
On considère l'équation $(E) : 7x - 5y = 1$ avec $x \in \Z$ et $y \in
\Z$.
    
         Déterminer une solution particulière $(a~;~ b)$ de $(E)$.
         Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
         En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_n = P_n = O$.
    
 

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Les points $A_0 = \text{O}~ ;~ A_1~ ;~\ldots ~;~A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.

Les points $B_0 = \text{O}~ ;~ B_1~ ;~B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.

Soit $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$
et $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}$.

On définit la suite $(M_n)$ de points par :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
  $M_0$ est l'un des points $A_0,~ A_1,~ A_{2},~\ldots,~ A_{20}$ ;
  pour tout entier naturel $n,~ M_{n + 1} = r_{\text{A}}(M_n).$
On définit la suite $(P_n)$ de points par :
  $P_0$ est l'un des points $B_0,~ B_1,~B_{2},~\ldots,~B_{14}$
  pour tout entier naturel $n,~ P_{n + 1} = r_{\text{B}}(P_n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant :

\[M_n = P_n = \text{O} .\]


 Dans cette question, $M_0 = P_0 =$ O.
    
         Indiquer la position du point $M_{\np{2000}}$ et celle du point $P_{\np{2000}}$.
         Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $M_n = P_n =$ O.
        
En déduire l'ensemble $S$.
    
 Dans cette question, $M_0 = A_{19}$ et $P_0 = B_{10}$.
On considère l'équation $(E) : 7x - 5y = 1$ avec $x \in \Z$ et $y \in
\Z$.
    
         Déterminer une solution particulière $(a~;~ b)$ de $(E)$.
         Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
         En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_n = P_n = O$.