BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2000

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Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que
AB = BC = CD = DA = 5 et $(\vect{\text{AB}},~
\overrightarrow{\text{AD}}) = \dfrac{\pi}{3}$.

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments
[AB], [BC], [CD], [DA] et [BD].

On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice
de [CD].

 Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B},~
f (\text{B}) = \text{D} ,~f(\text{D}) = \text{C}.$
    
         Prouver que $f$ est un antidéplacement.
         Démontrer que s'il existe un point $M$ invariant par $f$, alors $M$ est
équidistant des points A,~B,~C, D.
         L'isométrie $f$ admet-elle un point invariant ?
    
 Soit $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ et $r$ la rotation de
centre B et d'angle $-~\dfrac{\pi}{3}$.
    
         Démontrer que $f = r \circ \sigma$.
         A-t-on $f = \sigma \circ r$ ?
    
 Soit $s_1$, la symétrie orthogonale d'axe (BC).
    
         Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $s_2$, telle que $r = s_2 \circ s_1$.
         En déduire que $f$ peut s'écrire sous la forme $f = s_1 \circ t_1$, , où
$t_1$ est une translation que l'on précisera.
    
 Soit $t_2$ la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AD}}$ ;
on note
$t_2^{-~1}$ sa réciproque et on pose $g = t_2^{-~1} \circ f$.
    
         Déterminer $g(\text{D}),~g(\text{I}),~g(\text{O})$. En déduire la nature précise de la transformation $g$.
         Démontrer que $f = t_2 \circ g$. A-t-on $f = g \circ t_2$ ?