BAC S SPECIALITE Métropole juin 2000

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Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que $\overrightarrow{\text{AE = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{\text{AB}}.$

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

Soit un point $C$, distinct de $A$, tel que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}C}\right) = \dfrac{\pi}{4}$.

La droite parallèle à (B$C)$ passant par E coupe la droite (A$C)$ en $F$.

On appelle $I$ le milieu de [B$C],~ J$ le milieu de [E$F]$ et $D$ le point d'intersection des droites (E$C)$ et (B$F)$.
 
On note $h_{\text{A}}$ l'homothétie de centre A qui transforme B en E et $h_{D}$ l'homothétie de centre $D$ qui transforme E en $C$.
 

     Déterminer $h_{\text{A}}(C)$ puis $h_{D}(F)$.
     En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $h_{D} \circ h_{\text{A}}$ puis de $h_{\text{A \circ h_{D}$.
     On appelle E' l'image de E par $h_{\text{A}}$ et $E''$ l'image de E' par $h_{D}$.
Représenter E', puis construire $E''$ en justifiant la construction.
     Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $h_{D} \circ h_{\text{A \circ h_{\text{A \circ h_{D}$.
     Montrer que le quadrilatère BE$CE''$ est un parallélogramme.
     On appelle $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ tels que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}M}\right) = \dfrac{\pi}{4}.$ $(\Delta)$ est donc une demi-droite ouverte d'origine A.
    
Pour la suite, les points A,~ B,~ E sont fixes et le point $C$ décrit $(\Delta)$.
    
Déterminer et construire le lieu géométrique $(\Delta)''$ du point $E''$.