BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2000

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres

\[a = n^3 - n^2 - 12n \qquad \text{et} \qquad b = 2n^2 - 7n - 4.\]

 Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n-4$.
 On pose $\alpha = 2 n + 1$ et $\beta = n + 3$. On note $d$ le PGCD de $\alpha$ et $\beta$.
    
         Établir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$.
         Démontrer que $d$ est un diviseur de 5.
         Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si et seulement
si $n - 2$ est multiple de 5.
    
 Montrer que $2n + 1$ et $n$ sont premiers entre eux.
 
    
         Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le PGCD de $a$
et $b$.
         Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n = 11$
et $n = 12$.