BAC S SPECIALITE Liban juin 2000

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     Le plan $(\mathcal{P})$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
    
Soit A et B dans ce plan d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}~;~b = -~4 -~\text{i}$ . Soit $f$ la transformation du plan $(\mathcal{P})$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $\overrightarrow{\text{O}M'} = 2\overrightarrow{\text{A}M} + \overrightarrow{\text{B}M}$.
        
             Exprimer $z'$ en fonction de $z$.
             Montrer que $f$ admet un seul point invariant $\Omega$ dont on donnera l'affixe. En déduire que $f$ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
        
     On se place dans le cas où les coordonnées $x$ et $y$ de $M$ sont des entiers naturels avec $1 \leqslant x \leqslant 8$ et $1 \leqslant y \leqslant 8$. Les coordonnées $(x'~;~ y')$ de $M'$ sont alors : $x' = 3x + 2$ et $y' = 3y - 1$.
        
             On appelle $G$ et $H$ les ensembles des valeurs prises respectivement par $x'$ et $y'$. Écrire la liste des éléments de $G$ et $H$.
             Montrer que $x'- y'$ est un multiple de 3.
             Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples $(x'~;~y')$ de $G \times H$ tels que $m = x'^2 - y'^2$ soit un multiple non nul de 60.
             Montrer que dans ces conditions, le nombre $x'- y'$ est un multiple de 6. Le nombre $x'- y'$ peut-il être un multiple de 30 ?
             En déduire que, si $x'^2 - y'^2$ est un multiple non nul de 60, $x'+ y'$ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples $(x'~;~y')$ qui conviennent.
            En déduire les couples $(x~;~ y)$ correspondant aux couples $(x'~;~ y')$ trouvés.