BAC S SPECIALITE Pondichéry juin 2000

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Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

 
    
         Pour $1 \leqslant n \leqslant 6$, calculer les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7.
         Démontrer que, pour tout $n,~ 3^{ n + 6} - 3^n$ est divisible par 7.
        
En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le même reste dans la division par 7.
         À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{\np{1000}}$ par 7.
         De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne
de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ?
         En déduire que, pour tout entier naturel $n, 3^n$ est premier avec 7.
    
 Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
    
         Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7.
         Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7.
        En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7.