BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 1999

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On considère l'équation

\[(1)\qquad  :\quad  20b - 9c = 2.\]

où les inconnues $b$ et $c$ appartiennent à l'ensemble $\Z$ des nombres entiers relatifs.

 
    
         Montrer que si le couple $(b_{0}~;~c_{0}$ d'entiers relatifs est une solution de l'équation (1), alors $c_{0}$ est un multiple de 2.
         On désigne par $d$ le p.g.c.d. de $|b_{0}|$ et $|c_{0}|$. Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ?
    
 Déterminer une solution particulière de l'équation (1), puis déterminer l'ensemble des solutions de cette équation.
 Déterminer l'ensemble des solutions $(b~;~c)$ de (1) telles que p.g.c.d.$(b~;~c) = 2$.
 Soit $r$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.

Le nombre entier naturel $P$, déterminé par $P = \alpha_{n}r^n + \alpha_{n-1}r^{n-1} + ... + \alpha_{1}r  + \alpha_{0}$, où $\alpha_{n},~\alpha_{n-1},~ ... , \alpha_{1},~ \alpha_{0}$ sont des nombres entiers naturels vérifiant  $0 < \alpha_{n} < r,~ 0 \leqslant \alpha_{n-1} < r, ...,~ 0 \leqslant,~ \alpha_{0} < r$ est noté $\overline{\alpha_{n}\alpha_{n-1}\ldots\alpha_{1}\alpha_{0}}^{(r)}$ ;  cette écriture est dite \og écriture de $P$ en base $r$ \fg{}. Soit $P$ un nombre entier naturel s'écrivant $\overline{ca5}^{(6)}$ et $\overline{bbaa}^{(4)}$  (en base sixet en base quatre respectivement).

Montrer que $a + 5$ est un multiple de 4 et en déduire les  valeurs de $a$, puis de $b$ et de $c$.

Donner l'écriture de $P$ dans le système décimal.