BAC S SPECIALITE Antilles--Guyane septembre 1999

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij.

On donne le point A(6 ; 0) et le point A$'$(0 ; 2).

À tout point $M$ de l'axe des abscisses différent de A on associe le point $M'$ tel que :
\[\text{A}M = \text{A}'M' \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}'M'}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{mod}~2\pi.\]
 
On admet l'existence et l'unicité de $M'$.

On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra $-4$ pour abscisse de $M$.

 Soit $M$ un point de l'axe des abscisses différent de A.
    
         Placer le point $M'$ sur la figure.
         Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géomé\-tri\-que ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu'il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l'angle, qui transforme A en A$'$ et $M$ en $M'$.
        
Placer I sur la figure.
         Démontrer que la médiatrice de [$MM'$] passe par I.
    
 On veut déterminer et construire les couples de points $(M,~ M')$ vérifiant la condition supplémentaire $MM' = 20$.
    
         Calculer I$M$ et démontrer qu'il existe deux couples solutions : ($M_{1},~M'_{1})$ et $(M_{2},~ M'_{2})$.
         Placer ces quatre points sur la figure.