BAC S SPECIALITE Sportifs de haut--niveau septembre 1999

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. (unité graphique : 1~cm) .

 On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i.  

On considère la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{\text{BC}}$, la symétrie S d'axe (AB) et la transformation $f = t \circ~$ S.

On désigne par A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par $f$.
    
Calculer les affixes de A$'$ et B$'$ et placer les points A, B, C, A$'$ et B$'$ sur une figure.
 On rappelle que l'écriture complexe d'un antidéplacement est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes et $|a| = 1$.

À tout point $M$ d'affixe $z$,~ $f$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$.

Justifier que $f$ est un antidéplacement et démontrer que :

\[z' = \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{38 - 6\text{i}}{5}.\]
 
 Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. La transformation $f$ est-elle une symétrie ?
 On appelle D le point d'affixe 3 + 6i,~$\Delta$ la médiatrice de [BD] et S$'$ la symétrie d'axe $\Delta$.
    
         Montrer que les droites $\Delta$ et (AB) sont parallèles. \\
            Déterminer S ~$\circ$~ S$'$.
         Montrer que $f \circ \text{S}'$ est la translation, notée $t'$, de vecteur $\overrightarrow{\text{DC}}$. En déduire que $f = t' \circ \text{S}'$.