BAC S COMPLEXE Asie 21 juin 2011

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U.

La figure est donnée en \textbf{annexe 2}.

Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$.

On admettra que l'affixe du point K est - $2 - 6\text{i}$.
Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

Calculer les affixes des points S et T.
Déterminer l'affixe du point U.
Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

Déterminer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{JC}},\, \overrightarrow{\text{AU}}\right)$.
On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe

$v = -0,752 + 0,864\text{i}$.

Établir que les points A, V et U sont alignés.
Que représente la droite (AU) pour l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ ?