BAC S COMPLEXE Antilles 20 juin 2011

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique. On appelle $J$ le point d'affixe $i$.

On considère les points $A$, $B$, $C$, $H$ d'affixes respectives $a=-3-\text{i}$, $b=-2+4\text{i}$, $c=3-\text{i}$ et $h= - 2$.

Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Montrer que $J$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$. Préciser le rayon du cercle $\mathcal{C}$.
Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $\dfrac{b-c}{h-a}$. En déduire ques les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

Dans la suite de l'exercice, on admet que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$.

\setcounter{enumi}{3}
On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l'affixe $g$ du point $G$. Placer $G$ sur la figure.
Montrer que le centre de gravité $G$, le centre du cercle cironcscrit $J$ et l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$ sont alignés. Le vérifier sur la figure.
On note $A'$ le milieu de $[BC]$ et $K$ celui de $[AH]$. Le point $A'$ a pour affixe

$a'=\dfrac12+\dfrac32\text{i}$.

Déterminer l'affixe du point $K$.
Démontrer que le quadrilatère $KHA'J$ est un parallélogramme.