BAC S COMPLEXE Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]

Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle.
En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C.
Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.

Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
En déduire la nature du triangle ABC .

On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians.

Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe $- \sqrt{3} - \text{i}$.
Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$.
Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que

\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\]
Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$.