BAC S COMPLEXE Polynésie juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right),.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Prérequis

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.

On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.

Questions

Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.

Partie B

On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe.

Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E).
On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$.

Écrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle.
Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E).
Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E).

Partie C

Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\]

Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$.

On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$.

Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$.

Démontrer que l'affixe du point E, notée $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$
Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F.
Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?