Epreuve du 1 er groupe de Mathematique

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR                1/1                        15 G 22 A01
                                                                                                                             Durée: 3 heures
OFFICE DU BACCALAUREAT                                               Séries: L1a-L1b-L’1-LA –Coef. 2
Téléfax (221) 824 65 81 -Tél. : 824 95 92 824 65 81                             Epreuve du 1 er groupe
                                   M A T H E M A T I Q U E S
culatrices  électroniques  non imprimantes  avec  entrée  par  clavier  sont  autorisées  Les
calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdits. Leur
utilisation sera considérée comme une fraude. (cf. Circulaire n° 5990/OB/Dir. Du 12.08.1988).
EXERCICE n° 1 (05 points)
Un lycée a choisi ses 15 délégués de classe: 7 garçons et 8 filles,parmi ces dernières,figure
Nabou.
1)Ces délégués se réunissent pour élire un gouvernement scolairede cinq membres
comprenant
:  un  président, un premier ministre,un ministre de l’intérieur, un ministre de la
culture et des sports et un ministre des finances, sans cumul de postes.
a)Quel est le nombre de gouvernements possibles? (0,75 point)
b)Calculer la probabilité des évènements suivants:
A «Nabou est élue présidente»;(0,75 point)
B «Le premier ministre et le ministre des finances sont des filles»;(0,75 point)
C «Le gouvernement scolaire comprend 2 filles et 3 garçons».(0,75 point)
2)Pour représenter le lycée à un jumelage, ces délégués doivent choisir  entre  eux  une
délégat
ion de cinq membres quelconques ne jouant aucun rôle.
a)Combien y a-t-il de délégations possibles?(0,5 point)
b)Calculer la probabilité des événements suivants:
D «la délégation comprend 2 garçons et 3 filles»;(0,75 point)
E «la délégation comprend au moins une fille».(0,75 point)
EXERCICE n° 2(05 points)
On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}= 1$ et pour tout entier naturel n,$ u_{n+1}=\frac{2}{5}u_{n}+3$.
1)Calculer $u_{1},u_{2},u_{3}$.(1,5 point)
2)$(v_{n})$ est la suite définie,pour tout entier naturel n,par $v_{n}=u_{n}–5$.
a)Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $ \frac{2}{5}$.(01point)
b)Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.(01point)
3)En déduire l’expression de $u_{n}$ en fonction de n.(0,5 point)
4)On note $S_{n}=v_{0}+v_{1}+v_{2}+...+v_{n}$.
Exprimer $S_{n}$ en fonction de n.
EXERCICE n° 3 (10 points)
On  considère  la  fonction  f  définie  par:
$f(x) = \frac{e^{2x}}{e^{x}+1}$ de courbe(C)dans un repère  orthonormé
(O,i,j).(unité:1 cm).
1)Montrer que l’ensemble de définition de f est IR.(0,5 point)
2)Déterminer la limite de f en $-\infty$, interpréter le résultat obtenu.(01point)
3)a)Montrer que pour tout x réel, $f’(x)= \frac{e^{2x}(ex+2)}{(e^{x}+1)^{2}}$∙(1,5point)
b)En déduire le tableau de variation de f.(1,5point)
4)Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.(01point)
5)Construire (C).(01,5 point)
6)a)Vérifier que $f(x) = e^{x}−\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$∙(01point)
b)Montrer que la fonction F définie par $F(x) = e^{x}–ln (e^{x}+1)$ est une primitive de f sur IR.(01 point)
c)Calculer  l’aire  en  $cm^{2}$ du  doma3ine  délimité  par  (C),  l’axe  des  abscisses,  les  droites d’équation x = 0 et x = 1.                                  (01 point)