Epreuve du 1 er groupe de Mathematique
S erie S1-S3 Coef 8
Epreuve du 1er groupe
M A T H E M A T I Q U E S
Les calculatrices electroniques non imprimantes avec entree unique par clavier sont autorisees.
Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des traces de courbe sont interdites.
Leur utilisation sera consideree comme une fraude.(CF.Circulaire $n^{0}5990/OB/DIR$. du 12 08 1998)
Exercice 1(4points).
Soit G l’ensemble des triplets T=(p, q, r) d’entiers relatifs, avec rnon nul, verifiant :$(E):p^{2}+q^{2}=r^{2}$
L’espace euclidien oriente est muni d’un repere orthonorme direct. On fait correspondre a
tout (p, q, r) de G le point M de coordonnees (p, q,0).
Un element (p, q, r) de G est dit non trivial si p et q sont non nuls.
1. a.Montrer que T'=(3,4,5) et
$T^{''}=(5,12,13)$ sont des elements de G. 2×0.5pt
b.Soit k un entier relatif non nul. Montrer que T= (p, q, r) est un ´el ´ement de G si et
seulement si kT=(kp, kq, kr) est un element de G. 0.5pt
Un element (p, q, r) non trivial de G est dit irreductible si p, q et r sont premiers entre eux.
2.Soit $T_{1}$et $T_{2}$ deux elements irreductibles de $G ,M_{1}$ et $M_{2}$ leurs points correspondants respectifs.
a.Montrer alors que le triplet $(|\vec{OM_{1}}.\vec{OM_{2}}|,||\vec{OM_{1}}\wedge{\vec{OM_{2}}}||,||\vec{OM_{1}}x\vec{OM_{2}}||)$ est un element
de T. 1pt
Dans la suite, ce triplet est note $T_{1}*T_{2}$.
b.Verifier que le triplet $T_{1}*T_{2}$ est trivial si et seulement si les droites ($OM_{1}$) et ($OM_{2}$)
sont confondues ou perpendiculaires. 0.75pt
c.En utilisant $T^{'}$ et $T^{''}$, deduire de la question 2.a) trois autres solutions irreductibles de
l’equation (E).0.75pt
Exercice 2 (4points).
O et A sont deux points distincts du plan euclidien oriente. (C) est le cercle de centre O et
de rayon OA.M est un point de (C). On pose $\theta=(\vec{OA},\vec{OM})$.
On note B et C les points de (C) tels que $(\vec{OA},\vec{OB}) =\theta\frac{phi}{2}[2\phi$
] et $(\vec{OA},\vec{OC}) = 2\theta+\phi{[2\phi]}$.
1.On note A'le symetrique de A par rapport a la droite (OM). Montrer que A'et C sont
symetriques par rapport a O. En d ´eduire une construction de C.
Faire une figure que l’on completera au fur et a mesure. 2×0.25pt
On prend OA comme unite et on pose $\vec{u}=\vec{OA}$.Soit $\vec{v}$ le vecteur tel que ($O,\vec{u},\vec{v}$) soit
un rep`ere orthonorme direct. Dans la suite le plan est suppose rapport ́e a ce repere.
On note z, b et c les affixes respectives des points M, B et C.
2. a.Ecrire z, b et c sous forme exponentielle puis v ́erifier que b=iz et $c=−z^{2}$. 0.75pt
Soit H le point d’affixe h=1+b+c.
b.Soit N le point d’affixe 1 +b.Construire N puis d ́eduire une construction de H. 2×0.25pt
MATHEMATIQUES 2 /3 15 G 18 Bis A01
Serie S1-S3
Epreuve du 1er groupe
.Desormais on suppose que $θ\ne=π2[π]$.
a.Justifier que les points A, B et C
sont distincts deux a deux.
Montrer que $\frac{z_{\vec{AH}}}{z_{\vec{CB}}}=\frac{z_{\vec{CH}}}{z_{\vec{BA}}}=\frac{1+iz}{1−iz}$.Verifier que $\frac{1+iz}{1−iz}$ est un imaginaire pur. En deduire
que H est l’orthocentre du triangle ABC. 1pt
b.R ́esoudre dans $\mathbb{C}$l’ ́equation $z^{2}−iz−1=0$.On donnera les solutions sous forme expo-
nentielle.
D ́eterminer l’affixe du centre de gravit ́e du triangle ABC en fonction de b et c.
En d ́eduire les valeurs de θ pour que H soit le centre de gravit e du triangle ABC.Quelle est
alors la nature du triangle ABC? 4×0.25pt
4.V ́erifier que lorsque le point M d ́ecrit le cercle (C) prive des points d’affixes i et−i, le
point H appartient `a la courbe (H) d’ ́equations param ́etriques :$\left\{
\begin{array}{l}
x(t)=1−sint−cos 2t \\
y(t)=cost−sin 2
\end{array}
\right.$
t0.25pt
PROBLEME (12points).
Le plan est rapporte a un repere orthonorme ($O,\vec{i},\vec{j}$) d’unite graphique 2cm.
Partie A (4points)
Soit
f la fonction definie sur [0,1[ par :
$ f(x)=1−x^{2}+ln(1−x)$
1. a.Etudier la fonction f
et representer graphiquement sa courbe Cf dans le repere (($O,\vec{i},\vec{j}$.
0.75pt
b.Montrer que l’ ́equation f(x) = 0 admet une solution unique α.Verifier que α∈[1/2, β]
avec β= 1−1/e. 0.75pt
2.
a.Soient p et q les fonctions d ́efinies sur [1/2,β] respectivement par :
$p(x)=|f′(x)| et q(x)=|f^{′′}(x)|$.
Etudier les variations de p et q
et dresser leurs tableaux de variations. 0.75pt
b.En deduire que :$∀x,y∈[1/2, β],|f′′(x)||f′(y)|≤M$ avec $M=\frac{e^{2}+2}{3}$.
3.Soit t un ́el ́ement de ]α,1[.
a.Calculer $\int_{α}^{t}ln(1−x)dx$. 0.5pt
b.Calculer $\int_{α}^{t}f(x)dx$
et montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty}\lim\limits_{t\to 1^{-}}\int_{α}^{t}f(x)dx=P(α)\lim\limits_{x\to +\infty}$ ou P est un polynome a
d ́eterminer. 0.75pt
Partie B (5points)
Les questions 1. et 2. sont ind ́ependantes.
1.Soient u et v deux r ́eels tels que u< v.
MATHEMATIQUES 3 /3
Serie S1-S3
Epreuve du 1er groupe 3
Soit h une fonction d ́efinie dans un intervalle ouvert contenant l’intervalle J=[u,v], d ́erivable
jusqu’a l’ordre 2 et ayant u comme unique zero dans J.On suppose que h est negative sur J
ainsi que ses d ́erivees jusqu’a l’ordre 2 et que ∀x∈J,h′(x)6= 0.
On considere la fonction T definie sur J par $T(x)=x−\frac{h(x)}{h′(x)}$.
a.Soit a un element de J et A le point d’abscisse a de la courbe $C_{h}$ repr esentative de h dans
le repere ($O,\vec{i},\vec{j}$).
Verifier que T(a) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente a
$C_{h}$ en A avec l’axe des abscisses.
Montrer que T est d ́erivable dans J et monotone ; dresser son tableau de variation. En deduire
que T(J)⊂J. 1.5pt
On pose $x_{0}=v$ et pour tout entier naturel n, $x_{n+1}=T(x_{n})$.
b.Montrer que la suite $(x_{n})n∈N$ est bien d ́efinie et bornee.
V ́erifier qu’elle est monotone, en d ́eduire qu’elle est convergente et calculer sa limite. 1.5pt
2.Soient a et b deux r ́eels tels que a < b.
Soit g une fonction d ́efinie sur l’intervalle [a, b] et deux fois d ́erivable.
Soit k un r ́eel fix ́e. on consid`ere la fonction G d ́efinie sur [a,b] par :
$∀x∈[a, b], G(x)=g(a)−g(x)−(a−x)g′(x)−\frac{1}{2}k(a−x)^{2}$
a.Calculer G(a).D ́eterminer k pour que G(b) soit ́egal a 0. 1pt
D ́esormais k prend cette valeur.
b.En appliquant le th ́eor`eme des accroissements finis a G dans l’intervalle [a, b], montrer
qu’il existe un r ́eel c dans ]a,b[ tel que G′(c)=0.
En d ́eduire que:$g(a)=g(b)+(a−b)g′(b)+\frac{1}{2}(a−b)^{2}g′′(c)$ 1pt
Partie C : Application `a la fonction f.(3points)
1. a.D ́emontrer que la fonction f satisfait dans l’intervalle [α, β], aux hypoth`eses faites sur la fonction h de la partie B.
0.5pt
On considere la suite $(x_{n})n∈N∗$ d ́efinie par son premier terme $x_{0}=β$ et pour tout entier
naturel n,
$x_{n+1}=x_{n}−f(x_{n})f′(x_{n})$
b.Demontrer que pour tout entier naturel n, il existe un reel c_{n}n dans $]α,x_{n}[$ tel que
$f(α)=f(x_{n})+(α−x_{n})f′(x_{n})+\frac{1}{2}(α−x_{n})^{2}f′′(c_{n})$. 0.5pt
c.En d ́eduire que $(x_{n}−α)=(x_{n}−α)^{2}\frac{f′′(c_{n})}{2f′(x_{n})}$ et $x_{n+1}−α≤\frac{M}{2}(x_{n}−α)^{2}$ 0.5pt
2.Pour tout entier naturel n on pose :$δ_{n}=\frac{M}{2}(x_{n}−α)$.
a.D ́emontrer par r ́ecurrence que pour tout entier naturel n on a :
$δ_{n}≤δ^{2n}_{0}≤(\frac{M}{4})^{2n}$(Remarquer que $δ_{0}=\frac{M}{2}(β−α)≤\frac{M}{4}$.) 0.5pt
b.Determiner un entier naturel n tel que $x_{n}−α$ soit inf ́erieur a $10^{−5}$ et une valeur approchee
de α a $10^{−5}$ pres par exces.
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