Epreuve du 1 er groupe de Mathematique

                                                                                        Séries: S2-S2A-S4-S5
                                                                                            Epreuve du 1er groupe
Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées . Les
calculatrices permettent d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdits. Leur
utilisation sera considérée comme une fraude. Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998).
EXERCICE 1(03,5 points)

Le  1),2) et  3)  de  cet  exercice  sont  faits  chacun  de  quatre  affirmations.  Dire  pour  chacune  de
ces affirmations si elle et vraie ou fausse.
1)L’évènement contraire de «A sachant B» est:                                               (0,5pt)
a)$\bar{A}$ sachant B               b) A sachant $\bar{B}$
c)$\bar{A}$ sachant $\bar{B}$         d) $\bar{A} \cap{B}$.
2)Soient E et F deux événements indépendants d’un même espace probabilisé, on a:(05pt)
a)p(E/F) = 0                                                b) $p(E\cup{F})=p(E)x p(\bar{F}) + p(F)$
c) p(E\cap{F}) = 0                                         d) $p(E/F) = 1$.
3)Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p où n = 4 et $p\in{]0,1[}$
a)si p = alors p(X= 2) = 2p(X= 1),
b)si p = alors $p(X= 3) >\frac{1}{4}$
c)si p = alors p(X> 1) = 1,
d)si p (x = 1) = 8 p (X= 0) alors $p=\frac{2}{3}$                                                      (0,75 pt)
4)Le plan (P)est rapporté au repère orthonormé direct ($O,\vec{u},\vec{V}$).
A et B sont deux points du plan (P)d’affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$.
Considérons M et M’ deux points du plan (P)distincts de A et B. Notons z et z’ les affixes respectives de M et M’.
Interpréter géométriquement les résultats ci-dessous:
a)$|z-z_{A}|=1$(0,25 pt)               b)$|z-z_{A}|=z-z_{B}|$                                                (0,5 pt)                   
c)$|z’|=|z_{A}-z_{B}|$ (0,5 point)     d)$ arg  (\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}})=arg(\frac{z’-z_{A}}{z’-z_{B}}) [\pi]$.   (0,5pt)

EXERCICE 2(05 points)
1)Soit $p(z)= z^{3}+3z^{2}–3z –5 –20i,z\in{₵}$.
a)Démontrer que 2 + i est une racine de p(z).
b)En déduire les solutions de l’équation p(z) = 0 dans ₵.                                       (01 pt)
2)Dans le plan (P) rapporté au repère orthonormé direct ($O,\vec{u},\vec{v}$) d’unité 1 cm, on considère
les points A, B et C d’affixes respectives 2 + i, -1 –2i et 4 + i.
a)Placer les points A, B et C puis calculer les distances AB et BC.                       (0,75 pt)
b)Démontrer que arg $\frac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=(\vec{BA},\vec{BC})[2\pi]$(0,25 pt)
c)En déduire une mesure en radian de l’angle                                                          (0,25 pt)
d)Déduire de tout ce qui précède la nature du triangle ABC.                                     (0,25 pt)
3)Soit r la rotation qui laisse invariant le point B et qui transforme A en C.
a)Montrer que l’application f associée à r est définie par:                                           (0,5 pt)
f(z) = iz –3 –i.
b)Préciser les éléments géométriques caractéristiques de r.                                    (0,25 pt)
4)Soit $T: M(z)\rightarrow{ M’ (z’)} $telle que $z’ = iα^{2}z + α,\in{₵}$.
a)Déterminer les valeurs de α pour lesquelles T est une homothétie de rapport 2.(0,5 pt)
b)Déterminer les éléments géométriques caractéristiques de T pour le nombre complexe
$\alpha$ vérifiant $|\alpha|$ et $arg\alpha{=-\frac{\pi}{4}}$ (0,25pt)
5)On considère la transformation g= roT.On suppose dans ce qui suit que $\alpha{=1–i}$.
a)Montrer que l’application h associée à g est définie par:(0,25pt)
h(z) =2iz–2.
b)Donner les éléments géométriques caractéristiques de g.(0,5 pt)

EXERCICE 3(02,5 points)
Au Sénégal une entreprise veut vérifier l’efficacité de son service de publicité.Elle a relevé
chaque mois durant une période de 6 mois les sommes X consacrées à la publicité et le chiffre
d’affaire constaté Y(X et Y sont en milliards de FCFA).
On donne le tableau ci-dessous:

Les résultats seront donnés au centième près.
Le détail des calculs n’est pas indispensable.On précisera les formules utilisées.
1)Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et Y.(01pt)
2)a) Déterminer l’équation de la droite de régression de Y en X.(01pt)
b) Déterminer la somme qu’il faut investir en publicités il’on désire avoir un chiffre d’affaire
de300 milliards si cette tendance se poursuit.(0,5 pt)
EXERCICE 4(09 points)
A)1) En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout réel α:
$I (α) =\int_{α_{e^{t}}^{0}(t+2) dt$.                                (0,5 pt)
En déduire I(x).                                                      (0,25 pt)
2)Soit k une fonction dérivable sur IR. Considérons la fonction h telle que
$h(x) = k(x) e-x, \forall{x \in{IR}}$.
On se propose de déterminer la fonction h de façon à ce qu’elle vérifie les
conditions suivantes,$\forall{x \in{IR}}$:
$h'(x)+h(x)=x+2$.
h(0)=2
a)Vérifier que $k’(x)=(x + 2)e^{x}$.(0,5 pt)
b)En déduire k puis h.                                        (0,25 + 0,25 pt)
B)I) 1) Etudier les variations sur IR de la fonction g définie par:
$g(x)=x+ 1 +e^{-x}$.(01,5pt)
2) En déduire que g(x) est strictement positif.(0,25 pt)
II) Soit la fonction f définie sur IR par:
$f(x)= ln (x + 1 e^{-x})$.
(Cf) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé
$(O, \vec{u},\vec{v})$.
1)Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations.   (02,5 pts)
2)Pour tout x strictement positif, on note M,le point de la courbe dela fonction
logarithme népérien d’abscisse x et N le point de (Cf) de même abscisse.
a)Démontrer que $0 < \bar{MN}< ln \frac{x+2}{x}$.                    (0,25 pt)
b)Quelle est la limite de $\bar{MN}$ quand x tend vers $+\infty$.
ATHEMATIQUES
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                                                       Epreuve du 1er groupe
3)a) Démontrer que:
$f(x) = -x + ln (xe^{x}+ e^{x}+ 1), \forall{x\in{IR}}$.                                                                (0,5 pt)
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique ($\Delta$) au voisinage de $-\infty$ et
déterminer la position de (Cf) par rapport à ($\Delta$) pour x<-1.(0,25 + 0,25 pt)
4)Construire (Cf) et ($\Delta$) dans le repère ($O,\vec{u},\vec{v})$(01,5 pt)