BAC S COMPLEXE Metropole juin 2010

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.

Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$.

Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha = 2\overline{\alpha} - 8$.
Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.

Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$.

Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$.

Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$.

Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a.

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.

On admet que AF$^2 = 4 - 3 \mathbb{C}os \theta + \sqrt{3}\sin \theta$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \mathbb{C}os x + \sqrt{3} \sin x$.

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,3)
\psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}