Série d'exercices sur les barycentres 1er S

Rappels sur les vecteurs

Exercice 1 

 

$ABCD$ est un quadrilatère quelconque, $I$ le milieu de $[AD]$ et $J$ celui de $[BC]$.

1) Ecrire $\vec{IJ}$ comme la somme de $\vec{AB}$ et de deux autres vecteurs que l'on précisera.

2) Décomposer le même $\vec{IJ}$ en utilisant $\vec{DC}$.

3) En déduire que $2\vec{IJ}=\vec{AB}+\vec{DC}$.
 

Exercice 2  

 

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le point tel que $\vec{DJ}=\vec{OC}$.

1) Exprimer $\vec{OI}$ en fonction de $\vec{BC}$.

2) Justifier les égalités : $\vec{BC}=\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{OJ}$.

3) Quel théorème vous permet de conclure que $O$, $I$ et $J$ sont alignés ?

 

Exercice 3  

 

$ABC$ est un triangle, $E$ est tel que $\vec{AE}=\dfrac{1}{3}\vec{BC}$, $I$ est tel que $\vec{CI}=\dfrac{2}{3}\vec{CB}$ et $F$ est tel que $\vec{AF}=\dfrac{1}{3}\vec{AC}$.

Démontrer que $I$, $E$ et $F$ sont alignés.

 

Exercice 4  

 

$ABCD$ est un parallélogramme, $M$, $N$, $Q$ sont tels que :

$\vec{DM}=\dfrac{4}{5}\vec{DA}$, $\vec{AN}=\dfrac{3}{4}\vec{AB}$, $\vec{CQ}=\dfrac{2}{3}\vec{CD}$

La parallèle à $(MQ)$ menée par $N$ coupe $(BC)$ en $P$. Il s'agit de trouver le coefficient $k$ de colinéarité tel que $\vec{BP}=k\vec{AD}$. Considérons le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AD})$.

1) Calculer les coordonnées des points $M$, $N$ et $Q$.

2) Justifier que $P$ a pour coordonnées $(1; k)$.

3) En déduire que les vecteurs $\vec{MQ}$ et $\vec{NP}$ sont colinéaires et calculer $k$.

 

Exercice 5 

 

Sur la figure ci-contre, $I$ est le milieu de $[BC]$, $J$ et $K$ sont les points tels que :

 

$\vec{AJ}=\dfrac{1}{3}\vec{AC}$ et $\vec{AK}=\dfrac{1}{4}\vec{BC}$

On considère le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$.

Calculer les coordonnées de $I$, $J$ et $K$ puis prouver que $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

 

Barycentre de deux points

 

Exercice 6  

 

$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=6 cm$. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=4,\quad \beta=-1$

2) $\alpha=2,\quad \beta=1$

3) $\alpha=2,\quad \beta=-2$

4) $\alpha=\frac{1}{10},\quad \beta=\frac{1}{5}$

 

Exercice 7 

 

$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=9 cm$. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=4,\quad \beta=5$

2) $\alpha=8,\quad \beta=-5$

3) $\alpha=-11,\quad \beta=2$

4) $\alpha=\frac{1}{2},\quad \beta=-\frac{1}{2}$

5) $\alpha=-1,\quad \beta=-5$

6) $\alpha=0,\quad \beta=2011$

 

Exercice 8 

 

Les points $A$ et $B$ sont donnés et $G$ est défini par la condition indiquée. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tel que $G$ soit le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$.

1) $\vec{AB}=2\vec{GB}$

2) $2\vec{GB}-3\vec{AB}=\vec{0}$

3) $2\vec{AB}+\vec{GA}-2\vec{GB}=\vec{0}$

 

Exercice 9 

 

Pour les exercices suivants, les points $A$, $B$ et $C$ sont indiqués sur la figure. Dans les deux cas suivants, trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$\bullet$ $A$ soit le barycentre de $(B; \alpha)$ , $(C; \beta)$

$\bullet$ $B$ soit le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(C; \beta)$

$\bullet$ $C$ soit le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$

 

 

 

Barycentre de trois points

 

Exercice 10 

 

$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G$. $G'$ est le symétrique de $G$ par rapport au milieu de $[BC]$.

1) Prouver que $G$ est le milieu de $[G'A]$

2) Justifier que : 

$\vec{G'G}=\vec{G'B}+\vec{G'C}$

3) Exprimer $\vec{G'A}$ en fonction de $\vec{G'B}$ et $\vec{G'C}$ puis en déduire que $G'$ est un barycentre de $A$, $B$ et $C$ affectés de coefficients que l'on précisera.

 

Exercice 11 

 

$ABC$ est un triangle. Construire (s'il existe) le barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=3,\quad \beta=2,\quad \gamma=1$

2) $\alpha=1,\quad \beta=-1,\quad \gamma=-3$

3) $\alpha=2,\quad \beta=1,\quad \gamma=2$

4) $\alpha=\frac{1}{2},\quad \beta=-\frac{1}{3},\quad \gamma=-\frac{1}{6}$

 

Exercice 12 

 

$ABC$ est un triangle; $I$ est le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 1)$. $J$ celui de $(B, 1)$, $(C, -2)$ et $G$ le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 1)$, $(C, -2)$. Le but de l'exercice est de localiser $G$ à l'intersection de deux droites.

1) Quel théorème permet de justifier l'alignement de $A$, $J$ et $G$, puis celui de $C$, $I$ et $G$ ?

2) En déduire que $G$ est à l'intersection de $(AJ)$ et de $(CI)$. Placer alors $G$.

3) Démontrer que $(BG)$ et $(AC)$ sont parallèles.

 

Exercice 13 

 

$ABC$ est un triangle. Les points $I$ et $J$ sont repérés sur la figure ci-contre,
dont les graduations sont régulières. $G$ est le milieu de $[CI]$.
Le but de l'exercice est de montrer que $A$, $G$ et $J$ sont alignés.

 

1) Exprimer $I$ comme un barycentre de $A$ et de $B$, puis $J$ comme un barycentre de $B$ et de $C$.

2) On note $G'$ le barycentre de $(A, 1)$, $(B, 2)$, $(C, 3)$. Quel théorème permet de justifier que $G'$ est le milieu de $[IC]$ ? En déduire que $G'=G$.

3) Démontrer que $A$, $G$ et $J$ sont alignés.
 

Exercice 14 

 

$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G$. Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble $\delta$ des points $M$ du plan tels que le vecteur $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$ est colinéaire à $\vec{AB}$.

1) Exprimer $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}$ en fonction de $\vec{MG}$.

2) Justifier l'affirmation :

"Dire que M appartient à $\Delta$ équivaut à dire que $\vec{GM}$ est colinéaire à $\vec{AB}$"

3) En déduire $\Delta$ et le construire.

 

Exercice 15 

 

Pour les exercices suivants, trouver trois réels $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ tels que G soit barycentre de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$

 

 

 

Barycentre de n points

 

Exercice 16 

 

Pour les exercices suivants, justifier de l'existence du barycentre G, puis le construire.

1) $ABCD$ est un rectangle et $G$ le barycentre de $(A, -1)$, $(B, 2)$, $(C, 2)$, $(D, 2)$.

2) $ABCD$ est un parallélogramme et $G$ le barycentre de $(A, 2)$, $(B, -3)$, $(C, 2)$, $(D, 2)$.

3) $ABCD$ est un quadrilatère et $G$ le barycentre de $(A, -1)$, $(B, 3)$, $(C, 2)$, $(D, 2)$.

 

Exercice 17 

 

La figure ci-contre indique une construction de barycentre $G$ de $(A, 1)$, $(B, 3)$, $(C, 1)$, $(D, 1)$. Justifier cette construction.

 

 

Exercice 18 

 

$ABCD$ est un rectangle, construire le barycentre $G$ de $(A; \alpha)$ , $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$, $(D, \delta)$ dans chacun des cas suivants :

1) $\alpha=-2,\quad \beta=3,\quad \gamma=1,\quad \delta=1$

2) $\alpha=-3,\quad \beta=2,\quad \gamma=1,\quad \delta=-3$

3) $\alpha=-\frac{1}{8},\quad \beta=\frac{3}{8},\quad \gamma=\frac{1}{4},\quad \delta=\frac{1}{2}$

 

 

Coordonnées du barycentre

 

Exercice 19 

 

1) Placer les points $A(1; 3)$ et $B(2; 1)$.

2) Calculer les coordonnées des points $M$, barycentre de $(A, -1)$, $(B, 3)$ et $N$, barycentre de $(A, 2)$, $(B, -1)$.

3) Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.

4) Trouver le réel $k$ tel que $\vec{MI}=k\vec{MN}$

5) En déduire deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que I soit le barycentre de $(M, \alpha)$, $(N, \beta)$

 

Exercice 20 

 

1) Placer les points $A(2; 1)$, $B(-1; 4)$ et $C(-3; -2)$.

2) Calculer les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.

3) Calculer les coordonnées de $G'$, barycentre de $(A, -2)$, $(B, 3)$, $(C, 1)$.

4) Les points $O$, $G$ et $G'$ sont-ils alignés ?

 

 

Ensemble de point

 

Exercice 21 

 

$[AB]$ est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$||2\vec{MA}+3\vec{MB}||=10$

1) On pose $G$ le barycentre de $(A, 2)$, $(B, 3)$. Réduire la somme $2\vec{MA}+3\vec{MB}$.

2) En déduire la nature de $\Gamma$. Construire alors $\Gamma$

 

Exercice 22 

 

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $AB=4 cm$. On se propose de trouver l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$||-\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}||=4$

1) On pose G le barycentre de $(A, -1)$, $(B, 1)$, $(C, 2)$. Réduire la somme $-\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}$

2) En déduire la nature de $\Gamma$.

3) Montrer que $\Gamma$ passe par le point $C$. Construire $G$ puis $\Gamma$

 

Exercice 23 

 

$ABC$ est un triangle équilatéral de coté 5 cm.

1) Construire $G$, barycentre de $(A, 1)$, $(B, -1)$, $(C, 1)$, et prouver que $ABCG$ est un losange.

2) Quel est l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ tels que :

$||\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC}||=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

3) Vérifier que le milieu de $[AC]$ appartient à $\Gamma$. Tracer $\Gamma$.

 

Exercice 24 

 

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, $I$ est le milieu de $[BC]$, $\Gamma$ est le cercle de centre $A$ passant par $I$. $G$ est le point diamétralement opposé à $I$.

1) Prouver que le point $G$ est le barycentre de $(A, 4)$, $(B, -1)$, $(C, -1)$.

2) Trouver deux réels b et c tels que A est le barycentre de $(G, 2)$, $(B, b)$, $(C, c)$.

3) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que :

$||2\vec{MG}+\vec{MB}+\vec{MC}||=2||\vec{BC}||$

 

 

Centre d'inertie

 

Exercice 25 

 

Pour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d'inertie.

 

 

 

 

Exercice 26 

 

Une plane homogène $P$ est constituée
par un carré $OABC$ de côté 8 cm dont on
a retiré le carré $BIJK$ de côté 4 cm.

 

trouver la position du centre d'inertie de la plaque par deux méthodes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 27 

 

Une rondelle a la forme d'un disque évidé suivant le schéma ci-contre pour lequel $OP=3OO'$.

1) Trouver la position du centre d'inertie $I$ de la rondelle évidée.

2) On note $M$ la masse de la rondelle évidée. Quelle masse m doit-on placer en $P$ afin que l'ensemble constitué de la rondelle et du point "massique" $P$ ait $O$ pour centre d'inertie ?

 

 

 

 

Exercice 28 

 

On considère une plaque homogène
composée d'un carré de côté 10 cm surmonté
d'un rectangle de hauteur 10 cm et de longueur l
(exprimée en cm) tel que $l\geq 10$ (figure ci-contre)
 

Déterminer la longueur maximale $l_{max}$ pour
laquelle la plaque reste en équilibre sur la base $[AB]$.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Commentaires

5

Oui j l veut

Format A4

Intéressant et très utile pour les études

C,est bien

Bon document

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