BAC S COMPLEXE Réunion 22 juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$.

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.

On rappelle que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.

Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$.

\textbf{Partie II :}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$.

On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe

\[z' = \dfrac{z -1- \text{i}}{z}.\]

Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.

Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe i.
Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$.
Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ?