BAC S COMPLEXE Antilles_juin 2010

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm.

\textbf{Restitution organisée de connaissances}

\smallskip

Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]

Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.

Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$

Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation:

\[z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique.
Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\i$ et $b=2\sqrt{3}+2\i$.

Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
Montrer que O$AB$ est un triangle équilatéral.

Soit $C$ le point d'affixe $c=-8\i$ et $D$ son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Placer les points $C$ et $D$.

Montrer que l'affixe du point $D$ est $d=4\sqrt{3}+4\i$.
Montrer que $D$ est l'image du point $B$ par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.
Montrer que O$AD$ est un triangle rectangle.