BAC S COMPLEXE AmeriqueNord_juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.

On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1.

On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\]

Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$.
Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$.

Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},~ \left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.
En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq \text{i})$ :
\[\begin{array}{l}
\text{BM}' \times \text{AM} = 1\\
\text{et}~ \left(\overrightarrow{u},~ \overrightarrow{\text{B}M'}\right) = - \left(\overrightarrow{u},~ \overrightarrow{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.}
\end{array}\]

Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$.
En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.

Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ?