BAC S COMPLEXE NlleCaledo_nov 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives

$z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$.

Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice.
Déterminer la nature du triangle OAB.

On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$.

Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat.
En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$.

Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe.

Justifier que le cercle $\Gamma'$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB].
Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est :
\[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]

Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$.

Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure.
Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2.

On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$.

Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?