BAC S COMPLEXE Amerique Sud_nov 2009

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère
les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]

Déterminer l'affixe du point P$'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
Montrer que les droites (AP) et (BP$'$) sont parallèles.
Établir que les droites (AP) et (PP$'$) sont perpendiculaires.

Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points tels que $M'= M$).

On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.

Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.