BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2009

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.

Placer les points A, B et C d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = -11 + 4\text{i},~
z_{\text{B}} = -3 - 4\text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = 5 + 4\text{i}.\]

Calculer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{B}}}$ et en déduire la nature du triangle ABC.
Soit E l'image du point C par la rotation $\mathcal{R}$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

Montrer que l'affixe de E vérifie $z_{\text{E}} = -3 + \left(8\sqrt{2} - 4 \right)\text{i}$.

Placer le point E.
Soit D l'image du point E par l'homothétie $\mathcal{H}$ de centre B et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Placer le point D .
\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit $\mathcal{D}$ la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].

Montrer que B, I et J sont alignés.