BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connus les résultats suivants :

$\bullet~$ Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, avec A $\neq$ C et A~$\neq$~B :

$\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\overrightarrow{\text{AC}},~\overrightarrow{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif ;

$\bullet~$ Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel :

$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.

Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$.

\textbf{Partie B }

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm.

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\]

Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$
Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$.
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = -4 + 6\text{i}$.

Placer les points A, B et $\Omega$ sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions.
Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$.

On appelle $m,~ n,~ p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$], [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A].

Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$.
Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$.

En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.

Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires.