BAC S COMPLEXE Metropole 2009

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$.

Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$.

Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes
$\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près.
Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left( z + \dfrac{1}{z}\right)$.
Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C.
Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$.
{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1.