BAC S COMPLEXE Liban juin 2009

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\]

Partie A

 Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
 Placer les points A, B et C.
 Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.
    
          Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$.
         Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ .
         Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.
      
 Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$.

    
         Déterminer les affixes des points G et G$'$.
         Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ?
    
 Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)